p divise n ou PGCD(p;n)=1

Propriété

Soit \(p \in \mathcal{P}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) . Alors :

• ou bien \(p\) divise \(n\) ;
• ou bien \(\mathrm{PGCD}(p;n)=1\) , c'est-à-dire \(p\) et \(n\) sont premiers entre eux.

Démonstration

Comme \(p\) est premier, ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\) .

Ainsi, soit \(\mathrm{PGCD}(p;n)=1\)  ; soit \(\mathrm{PGCD}(p;n)=p\) , ce qui signifie que  \(p\) divise \(n\) .